MATEMATICAS DIVERTIDAS

Es muy importante practicar constantemente las matemáticas y que mejor de una manera divertida. Aplica todo lo aprendido y demuestra tus grandes progresos.

Llena la pizarra de números y diviertete aprendiendo!!!

 

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EL PROBLEMA DE LOS SESENTA MELONES (EL HOMBRE QUE CALCULABA)

En el que Beremiz revela gran interés por el juego de la comba. La curva del Morazán y las arañas. Pitágoras y el círculo. Nuestro encuentro con Harim Namir. El problema de los sesenta melones. Cómo el vequil perdió la apuesta. La voz del muezin ciego llama a los creyentes a la oración del mogreb.

Cuando salimos del hermoso palacio del poeta Iezid era casi la hora de ars. Al pasar junto al morabito Ramih oímos un suave gorjeo de pájaros entre las ramas de una vieja higuera.

-Mira. Seguro que son algunos de los liberados hoy, le dije a Beremiz. Es un placer oír convertida en canto esta alegría de la libertad reconquistada.

Beremiz sin embargo, no parecía interesarse en aquel momento de la puesta del sol por los cantos de los pájaros de la enramada. Su atención estaba absorbida por un grupo de niños que jugaban en una calle próxima. Dos de los pequeños sostenían por los extremos un pedazo de cuerda fina que tendría cuatro o cinco codos. Los otros se

esforzaban en saltar por encima de ella, mientras los primeros la colocaban unas veces más baja, otras más alta, según la agilidad del que saltaba.

-¡Mira la cuerda, bagdalí!, dijo el Calculador cogiéndome del brazo.

Mira la curva perfecta. ¿No te parece digna de estudio?

-¿A qué te refieres? ¿A la cuerda acaso?, exclamé. No veo nada de extraordinario en esa ingenua diversión de niños que aprovechan las

últimas luces del día para su recreo…

-Pues bien, amigo mío, convéncete de que tus ojos son ciegos para las mayores bellezas y maravillas de la naturaleza. Cuando los niños alzan la cuerda, sosteniéndola por los extremos y dejándola caer libremente por la acción de su propio peso, la cuerda forma una curva que tiene su interés, pues surge como resultado de la acción de

fuerzas naturales. Ya otras veces observé esa curva, que el sabio Nö- Elim llamaba marazán, en las telas y en la joroba de algunos dromedarios. ¿Tendrá esta curva alguna analogía con las derivadas de la parábola? En el futuro, si Allah lo quiere, los geómetras descubrirán medios de trazar esta curva punto por punto y estudiarán

con rigor todas sus propiedades…

Hay, sin embargo, prosiguió, muchas otras curvas más importantes. En primer lugar el círculo. Pitágoras, filósofo y geómetra griego, consideraba el círculo como la curva más perfecta, vinculando así el círculo a la perfección. Y el círculo, siendo la curva más perfecta entre todas, es la de trazado más sencillo.

Beremiz en este momento, interrumpiendo la disertación apenas iniciada sobre las curvas, me indicó un muchacho que se hallaba a escasa distancia y gritó:

-¡Harim Namir!

El joven se volvió rápidamente y se dirigió, alegre, a nuestro encuentro. Me di cuenta entonces de que se trataba de uno de los tres hermanos que habíamos encontrado discutiendo en el desierto por la herencia de 35 camellos; división complicada, llena de tercios y

nonos, que Beremiz resolvió por medio de un curioso artificio al que ya tuve ocasión de aludir.

-¡Mac Allah!, exclamó Harim dirigiéndose a Beremiz. El destino nos manda al gran calculador. Mi hermano Hamed no acaba de poner en claro una cuenta de 60 melones que nadie sabe resolver.

Y Harim nos llevó hacia una casita donde se hallaba su hermano Hamed Namir con varios mercaderes.

Hamed se mostró muy satisfecho al ver a Beremiz, y, volviéndose a los mercaderes, les dijo:

-Este hombre que acaba de llegar es un gran matemático. Gracias a su valioso auxilio conseguimos solución para un problema que nos parecía imposible: dividir 35 camellos entre tres personas. Estoy seguro de que él podrá explicar en pocos minutos la diferencia que encontramos en la venta de los 60 melones.

Beremiz fue informado minuciosamente del caso. Uno de los mercaderes explicó:

-Los dos hermanos, Harim y Hamed, me encargaron que vendiera en el mercado dos partidas de melones. Harim me entregó 30 melones que debían ser vendidos al precio de 3 por 1 dinar; Hamed me entregó también 30 melones para los que estipuló un precio más caro: 2 melones por 1 dinar. Lógicamente, una vez efectuada la venta Harim tendría que recibir 10 dinares, y su hermano 15. El total

de la venta sería pues 25 dinares.

Sin embargo, al llegar a la feria, apareció una duda ante mi espíritu. Si empezaba la venta por los melones más caros, pensé, iba a perder la clientela. Si empezaba la venta por los más baratos, luego iba a verme en dificultades para vender los otros treinta. Lo mejor, única solución para el caso, era vender las dos partidas al mismo tiempo. Llegado a esta conclusión, reuní los sesenta melones y empecé a venderlos en lotes de 5 por 2 dinares. El negocio se justificaba mediante un raciocinio muy simple. Si tenía que vender 3 por 1 y luego 2 por 1, sería más sencillo vender 5 por 2 dinares. Vendidos los 60 melones en 12 lotes de cinco cada uno, recibí 24 dinares.

¿Cómo pagar a los dos hermanos si el primero tenía que recibir 10 y el segundo 15 dinares?

Había una diferencia de 1 dinar. No se cómo explicarme esta diferencia, pues como dije, el negocio fue efectuado con el mayor cuidado. ¿No es lo mismo vender 3 por 1 dinar y luego 2 por otro dinar que vender 5 por 2 dinares?

-El caso no tendría importancia alguna intervino Hamed Namir, si no fuera la intervención absurda del vequil que vigila en la feria. Ese vequil, oído el caso, no supo explicar la diferencia en la cuenta y apostó cinco dinares a que esa diferencia procedía de la falta de un melón que había sido robado durante la venta.

-Está equivocado el vequil, dijo Beremiz, y tendrá que pagar los dinares de la apuesta. La diferencia a que llegó el vendedor resulta de lo siguiente:

La partida de Harim se componía de 10 lotes de 3 melones cada uno. Cada lote debe ser vendido por 1 dinar. El total de la venta serían 10 dinares

La partida de Hamed se componía de 15 lotes de dos melones cada uno, que, vendidos a 1 dinar cada lote, daban un total de 15 dinares. Fíjense en que el número de lotes de una partida no es igual al número de lotes de la otra. Para vender los melones en lotes de cinco solo los 10 primeros lotes podrían ser vendidos a razón de 5 por dos dinares; una vez vendidos esos 10 lotes, quedan aún 10 melones que pertenecen exclusivamente a la partida de Hamed y que, siendo de más elevado precio, tendrían que ser vendidos a razón de 2 por 1 dinar. La diferencia de 1 dinar resultó pues de la venta de los 10 últimos melones. En consecuencia: no hubo robo. De la desigualdad del precio entre las partes resultó un perjuicio de 1 dinar, que quedó reflejado en el resultado final.

Exposición gráfica de la resolución del Problema de los Sesenta Melones. “A” representa los treinta melones entregados por Harim y que, según lo ordenado, debían ser vendidos a razón de tres por un dinar. “B” representa los otros treinta melones entregados por Hamed, y cuyo precio fue fijado a razón de dos por un dinar. Podemos comprobar que solo diez lotes de cinco melones cada uno – tres de “A” y dos de “B”- podían ser vendidos a razón de dos dinares cada uno. Los dos últimos lotes comprenderán solo melones del grupo B y por consiguiente de mayor precio.

En ese momento tuvimos que interrumpir la reunión. La voz del muezín, cuyo eco vibraba en el espacio, llamaba a los fieles a la oración de la tarde.

-¡Hai al el-salah! ¡Hai al el-salah!

Cada uno de nosotros procuró sin pérdida de tiempo hacer el guci ritual, según determina el Libro Santo.

El sol se hallaba ya en la línea del horizonte. Había llegado la hora del mogreb.

Desde la tercera almena de la mezquita de Omar, el muezín ciego, con voz pausada y ronca, llamaba a los creyentes a oración:

-¡Allah es grande y Mahoma, el Profeta es el verdadero enviado de Dios! ¡Venid a la oración, musulmanes! ¡Venid a la oración! ¡Recordad que todo es polvo, excepto Allah!.

Los mercaderes, precedidos por Beremiz extendieron sus alfombras policromas, se quitaron las sandalias, se volvieron en dirección a la Ciudad Santa, y exclamaron:

-¡Allah, Clemente y Misericordioso! ¡Alabado sea el Omnipotente Creador de los mundos visibles e invisibles! ¡Condúcenos por el camino recto, por el camino de aquellos que son por Ti amparados y bendecidos!

RESUELVE EL ENIGMA II

El Inspector Cero investiga:

El Inspector Cero está intentando descubrir el asesino. Tiene cinco posibles sospechosos a los que está interrogando. Ante las insistentes preguntas hechas por el inspector para intentar descubrir al asesino, los cinco sospechosos contestaron lo siguiente:

Antonio: Ha sido David
Blas: Yo no he sido.
Carlos: No ha sido Enrique.
David: Antonio no dice la verdad.
Enrique: Blas no miente.

Su fiel amigo Watson le avisa que hay exactamente dos afirmaciones falsas. ¿Puedes ayudar al inspector a descubrir quién es el asesino?

EL ASESINO ES ENRIQUE

RESUELVE EL ENIGMA I

Cinco casas:

Hechos:

1.    Tenemos 5 casas de 5 diferentes colores (cada casa de un color).

2.    En cada casa vive una persona con nacionalidad diferente.

3.    Estos 5 dueños beben una bebida diferente, fuman una cierta marca y tienen alguna mascota.       

4.    Ningún dueño tiene la misma mascota, fuma la misma marca o bebe el mismo tipo de bebida que otro.

Detalles:

1.    El Ingles vive en la casa Roja.

2.     La mascota del Sueco es un perro.

3.     El Danés bebe té.

4.     La casa verde es la inmediata de la izquierda de la casa blanca.

5.     El dueño de la casa verde toma café.

6.     La persona que fuma Marlboro cría pájaros.

7.     El dueño de la casa amarilla fuma Dunhill.

8.     El hombre que vive en la casa del centro toma leche.

9.     El Noruego vive en la primera casa.

10.  La persona que fuma Camel vive junto a la que tiene gatos.

11.  El hombre que tiene caballos vive junto al hombre que fuma Dunhill.

12.  La persona que fuma Blue Master bebe cerveza.

13. El alemán fuma Prince.

14. El Noruego vive junto a la casa azul.

15. El hombre que fuma Camel tiene un vecino que bebe agua.

La pregunta es ...  ¿QUIEN TIENE POR MASCOTA PESCADOS? 

EL ALEMÁN

¿DIVIDIR SIN SABER LA TABLA?

Para poder dividir dos números sin tener que saber las tablas de multiplicar hace falta saber sumar, restar y multiplicar por 2. Eso es todo. Le pido que me tenga confianza porque, si bien al principio puede parecer complicado, es en realidad muchísimo más fácil que dividir en la forma convencional, y aunque sea sólo por eso, porque ofrece una manera alternativa a lo que uno aprendió en la escuela y se corre de lo clásico, vale la pena prestarle atención. En lugar de detenerme en todos los tecnicismos que requeriría un libro de texto o de matemática, mostraré algunos ejemplos con creciente grado de dificultad. El método consiste en fabricar cuatro columnas de números a partir de los dos números que uno tiene como datos. Para dividir 712 por 31, completo en primer lugar la primera columna y luego la cuarta:

31			1
62			2
124			4
248			8
496			16
712

Para obtener la primera columna, empiezo con el número por el que queremos dividir; en este caso, el 31. A partir de él, en forma descendente, multiplico por 2 en cada paso. ¿Por qué paré en el 496? Porque si multiplico el 496 por 2, obtendría un número (992) mayor que 712 (el número que originariamente quería dividir). Por eso, en lugar de poner el 992, anoto el 712. Es decir que para generar la primera columna, sólo hace falta saber multiplicar por 2 y estar atento para terminar el proceso en el paso anterior a superar nuestro segundo número. La cuarta columna se obtiene igual que la primera, sólo que en lugar de empezar con el 31, empiezo con el número 1. Como se advierte, irán apareciendo las distintas potencias del número 2. Detengo el proceso en el mismo lugar en que me detuve en la primera columna. Hasta aquí, todo lo que uno necesita saber es multiplicar por 2.

¿Cómo se completan las dos columnas del medio? Así:

31		30	1
62	30		2
124	92		4
248		216	8
496	216		16
712

Para realizar este paso, lo que necesita saber es restar. Empiezo de abajo hacia arriba, restando el número que tenemos para dividir (el 712) menos el anteúltimo número de la columna uno (496). Al resultado, lo anoto en la columna dos, y así aparece el 216. Ahora comparo el 216 con el 248. Como no lo podemos restar (porque 216 es menor que 248, y sólo trabajamos con números positivos), guardamos el 216 en la columna tres. Ahora sigo hacia arriba (comparando siempre con la primera columna): como 216 es mayor que 124, entonces los resto. El resultado (92) va en la segunda columna. Un paso más: como 92 es mayor que 62, los resto nuevamente y obtengo el 30. Otra

vez lo pongo en la segunda columna. Y aquí, como 30 es menor que 31, no lo puedo restar y lo vuelvo a anotar en la tercera columna. Ya casi llegamos al final. Sólo falta un paso, y convengamos que el proceso hasta acá fue muy sencillo. ¿Cómo termina? Todo lo que hay que hacer es sumar los números de la cuarta columna que tengan un compañero en la segunda. Es decir:

2 + 4 + 16 = 22

Y obtenemos el número que estábamos buscando. El resultado de dividir 712 por 31 es 22, y sobra el número 30, que figura en la columna tres, donde paré el proceso.

Verifíquelo:

31 . 22 = 682

Como escribí más arriba, el resto es 30. Luego:

682 + 30 = 712

¿MULTIPLICAR SIN SABER LA TABLA?

Lo que sigue va en ayuda de aquellos chicos que se resisten a aprender de memoria las tablas de multiplicar. Me apuro a decir que los comprendo perfectamente porque, en principio, cuando a uno le enseñan a repetirlas, no le queda más remedio que subordinarse a la “autoridad” del/la maestro/a, pero a esa altura no está claro (para el niño) por qué tiene que hacerlo. Lo que sigue es, entonces, una forma “alternativa” de multiplicar, que permite obtener el producto de dos números cualesquiera sin saber las tablas. Sólo se requiere:

a) saber multiplicar por 2 (o sea, duplicar);

b) saber dividir por 2, y

c) saber sumar.

Este método no es nuevo. En todo caso, lo que podría decir es que está en desuso u olvidado, ya que era la forma en que multiplicaban los egipcios y que aún hoy se utiliza en muchas regiones de Rusia. Es conocido como la multiplicación paisana. En lugar de explicarlo en general, voy a ofrecer un ejemplo que será suficiente para entenderlo.

Supongamos que uno quiere multiplicar 19 por 136. Entonces, prepárese para escribir en dos columnas, una debajo del 19 y otra, debajo del 136.

En la columna que encabeza el 19, va a dividir por 2, “olvidándose” de si sobra algo o no. Para empezar, debajo del 19 hay que poner un 9, porque si bien 19 dividido 2 no es exactamente 9, uno ignora el resto, que es 1, y sigue dividiendo por 2. Es decir que debajo del 9 pone el número 4. Luego, vuelve a dividir por 2 y queda 2, y al volver a dividir por 2, queda 1. Ahí para. Esta columna, entonces, quedó así:

19

9

4

2

1

Por  otro lado, en la otra columna, la encabezada por el 136, en lugar de dividir por 2, multiplique por 2 y coloque los resultados a la par de la primera columna. Es decir:

19       136

9         272

4         544

2         1.088

1         2.176

Cuando llega al nivel del número 1 de la columna de la izquierda detenga la duplicación en la columna del 136. Convengamos en que es verdaderamente muy sencillo. Todo lo que hizo fue dividir por 2 en la columna de la izquierda y multiplicar por 2 en la de la derecha. Ahora, sume sólo los números de la columna derecha que corresponden a números impares de la izquierda. En este caso:

19       136

9         272

4         544

2         1.088

1         2.176

Al sumar sólo los compañeros de los impares, se tiene:

136 + 272 + 2.176 = 2.584

que es (¡justamente!) el producto de 19 por 136.

LA REPARTICION DE LOS CAMELLOS

Singular aventura acerca de 35 camellos que debían ser repartidos entre tres árabes. Beremís Samir ("EL HOMBRE QUE CALCULABA") efectúa una división que parecía imposible, dejando plenamente satisfechos a los tres querellantes.

Hacía pocas horas que viajábamos sin interrupción, cuando nos ocurrió una aventura digna de ser referida, en la cual mi compañero Beremís puso en práctica, con gran talento, sus habilidades de eximio algebrista.

Encontramos, cerca de una antigua posada medio abandonada, tres hombres que discutían acaloradamente al lado de un lote de camellos. Furiosos se gritaban improperios y deseaban plagas:

- ¡No puede ser!

- ¡Esto es un robo!

- ¡No acepto!

El inteligente Beremís trató de informarse de que se trataba.

- Somos hermanos –dijo el más viejo- y recibimos, como herencia, esos 35 camellos. Según la expresa voluntad de nuestro padre, debo yo recibir la mitad, mi hermano Hamed Namir una tercera parte, y Harim, el más joven, una novena parte. No sabemos sin embargo, como dividir de esa manera 35 camellos, y a cada división que uno propone protestan los otros dos, pues la mitad de 35 es 17 y medio. ¿Cómo hallar la tercera parte y la novena parte de 35, si tampoco son exactas las divisiones?

- Es muy simple –respondió el “Hombre que calculaba”-. Me encargaré de hacer con justicia esa división si me permitís que junte a los 35 camellos de la herencia, este hermoso animal que hasta aquí nos trajo en buena hora.

Traté en ese momento de intervenir en la conversación:

- ¡No puedo consentir semejante locura! ¿Cómo podríamos dar término a nuestro viaje si nos quedáramos sin nuestro camello? - No te preocupes del resultado “bagdalí” –replicó en voz baja Beremís-. Se muy bien lo que estoy haciendo. Dame tu camello y verás, al fin, a que conclusión quiero llegar.

Fue tal la fe y la seguridad con que me habló, que no dudé más y le entregué mi hermoso jamali(1) , que inmediatamente juntó con los 35 camellos que allí estaban para ser repartidos entre los tres herederos.

- Voy, amigos míos –dijo dirigiéndose a los tres hermanos- a hacer una división exacta de los camellos, que ahora son 36. Y volviéndose al más viejo de los hermanos, así le habló:

- Debías recibir, amigo mío, la mitad de 35, o sea 17 y medio. Recibirás en cambio la mitad de 36, o sea, 18. Nada tienes que reclamar, pues es bien claro que sales ganando con esta división.

Dirigiéndose al segundo heredero continuó:

- Tú, Hamed Namir, debías recibir un tercio de 35, o sea, 11 camellos y pico. Vas a recibir un tercio de 36, o sea 12. No podrás protestar, porque también es evidente que ganas en el cambio.

Y dijo, por fin, al más joven:

- A ti, joven Harim Namir, que según voluntad de tu padre debías recibir una novena parte de 35, o sea, 3 camellos y parte de otro, te daré una novena parte de 36, es decir, 4, y tu ganancia será también evidente, por lo cual sólo te resta agradecerme el resultado.

Luego continuó diciendo:

- Por esta ventajosa división que ha favorecido a todos vosotros, tocarán 18 camellos al primero, 12 al segundo y 4 al tercero, lo que da un resultado (18 + 12 + 4) de 34 camellos. De los 36 camellos sobran, por lo tanto, dos. Uno pertenece, como saben, a mi amigo el “bagdalí” y el otro me toca a mí, por derecho, y por haber resuelto a satisfacción de todos, el difícil problema de la herencia(2) .

- ¡Sois inteligente, extranjero! –exclamó el más viejo de los tres hermanos-. Aceptamos vuestro reparto en la seguridad de que fue hecho con justicia y equidad.

El astuto beremís –el “Hombre que calculaba”- tomó luego posesión de uno de los más hermosos “jamales” del grupo y me dijo, entregándome por la rienda el animal que me pertenecía:

- Podrás ahora, amigo, continuar tu viaje en tu manso y seguro camello. Tengo ahora yo, uno solamente para mí. Y continuamos nuestra jornada hacia Bagdad.